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るんるんっの日記

さんすーだよっ!

集積点と関連する定理 その2

   以下(X,J)を位相空間とする.

定義:[A]={x∈X:∀G∈O⇒x∈G}=∩{G∈P(X):A⊂Gかつ(X~G)∈J} (ただしO={G∈P(X):補集合X~G∈JかつA⊂G}とする) のとき、またそのときに限って、[A]∈P(X)がA∈P(X)の閉包(closure)である、という.

定理:任意のA∈P(X)に対して、[A]=A∪Bである.ただしB={x∈X:∀V∈N(x)⇒∃z∈A∩V s.t. z≠x}とする.

証明: A⊂A∪Bでありまた,前回の結果からX~(A∪B)∈Jより[A]⊂A∪Bがいえる.次に

   ∀x[(∃V∈O s.t. x∈X~V)⇒x∈X~(A∪B)]

を言いたい.ところがこれは直ぐに言えてしまう:

   V∈Oより(X~V)⊂(X~A).

   X~V∈N(x)に対しA∩(X~V)が空よりx∈X~B.   おわり

 

 

   ご存じの通りユークリッド空間R^nに'普通の'位相

    u={V∈P(R^n):∀x∈V⇒∃p>0 s.t. xのp-開球U(x;p)⊂V}

を入れると、A∪B=Bとなるのであった.(前回のをみよ). 今回の結果から R^nに普通の位相を入れた位相空間では集積点全体の集合が結局,閉包となることが分かった. そこで特に次のことを考える. D∈P(R^n)が閉集合 iff X~D∈u, D⊂DよりD=[D]={x∈R^n:xはDの集積点}. つまり Dが閉集合 iff DがDの集積点全体の集合と等しい が成り立つ. 大学2年でやる解析学ではこの性質を利用するのではないか、と予想してる.

一部GとOが混乱してたので修正した(3/15)

 

参考図書:General Topology by John L kelley 1955

集合と位相空間 森田茂之 2002

 

   

集積点と関連する定理

   以下(X,J)は位相空間とする.

定理:Xの部分集合AとB={x∈X:xはAの集積点}の合併(union)は閉集合(補集合X~(A∪B)∈J)になる.

   定理の証明にうつる前に集積点の定義を与えておく:

定義:x∈XがA∈P(X)の集積点(accumulation point)であるとは

   ∀V∈N(x)⇒∃z∈A∩V s.t. z≠x

のことを言う.ただし、xの近傍系N(x)={V∈P(X):∃W∈J s.t. x∈W⊂V}とする.

証明:勝手なX~(A∪B)の元xをとる:x∈Xかつ¬x∈Aかつ

   ∃W∈N(x) s.t. ∀z∈A∩W⇒z=x.

このWに対し

   ∃V∈J s.t. x∈V⊂W.

このVについてV⊂X~(A∪B)をいおう.

勝手なAの元yをとる.y≠xより¬y∈A∩V.よって¬y∈V.

以上から、y∈V⇒¬y∈A.また、V∈N(y)であってA∩Vが空であることから¬y∈B.(おわり)

 

なかなか難しいですね……。微分積分で扱われるユークリッド空間R^nでは'普通の'位相

u={W∈P(R^n):∀x∈W∃p>0 s..t. U(x;p)⊂W} (ただしU(x;p)はxのp-開球)を入れると、AがBに含まれる、という状況がいつも起こります。(証明には三角不等式などを使う)。一般には必ずしもそのような事は起こらず例えば離散位相を入れるとBが空になっちゃったりします。ヒント)シングルトン

 

参考図書:General Topology by John L Kelley 1955

集合位相入門 松坂和夫 1968