るんるんっの日記

さんすーだよっ!

集積点と関連する定理 その2

以下(X,J)を位相空間とする. 定義:[A]={x∈X:∀G∈O⇒x∈G}=∩{G∈P(X):A⊂Gかつ(X~G)∈J} (ただしO={G∈P(X):補集合X~G∈JかつA⊂G}とする) のとき、またそのときに限って、[A]∈P(X)がA∈P(X)の閉包(closure)である、という. 定理:任意のA∈P(X)に対して、[A]=A∪Bである.…

集積点と関連する定理

以下(X,J)は位相空間とする. 定理:Xの部分集合AとB={x∈X:xはAの集積点}の合併(union)は閉集合(補集合X~(A∪B)∈J)になる. 定理の証明にうつる前に集積点の定義を与えておく: 定義:x∈XがA∈P(X)の集積点(accumulation point)であるとは ∀V∈N(x)⇒∃z∈A∩V s.t. z≠x …