読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

るんるんっの日記

さんすーだよっ!

集積点と関連する定理

   以下(X,J)は位相空間とする.

定理:Xの部分集合AとB={x∈X:xはAの集積点}の合併(union)は閉集合(補集合X~(A∪B)∈J)になる.

   定理の証明にうつる前に集積点の定義を与えておく:

定義:x∈XがA∈P(X)の集積点(accumulation point)であるとは

   ∀V∈N(x)⇒∃z∈A∩V s.t. z≠x

のことを言う.ただし、xの近傍系N(x)={V∈P(X):∃W∈J s.t. x∈W⊂V}とする.

証明:勝手なX~(A∪B)の元xをとる:x∈Xかつ¬x∈Aかつ

   ∃W∈N(x) s.t. ∀z∈A∩W⇒z=x.

このWに対し

   ∃V∈J s.t. x∈V⊂W.

このVについてV⊂X~(A∪B)をいおう.

勝手なAの元yをとる.y≠xより¬y∈A∩V.よって¬y∈V.

以上から、y∈V⇒¬y∈A.また、V∈N(y)であってA∩Vが空であることから¬y∈B.(おわり)

 

なかなか難しいですね……。微分積分で扱われるユークリッド空間R^nでは'普通の'位相

u={W∈P(R^n):∀x∈W∃p>0 s..t. U(x;p)⊂W} (ただしU(x;p)はxのp-開球)を入れると、AがBに含まれる、という状況がいつも起こります。(証明には三角不等式などを使う)。一般には必ずしもそのような事は起こらず例えば離散位相を入れるとBが空になっちゃったりします。ヒント)シングルトン

 

参考図書:General Topology by John L Kelley 1955

集合位相入門 松坂和夫 1968