るんるんっの日記

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集積点と関連する定理 その2

   以下(X,J)を位相空間とする.

定義:[A]={x∈X:∀G∈O⇒x∈G}=∩{G∈P(X):A⊂Gかつ(X~G)∈J} (ただしO={G∈P(X):補集合X~G∈JかつA⊂G}とする) のとき、またそのときに限って、[A]∈P(X)がA∈P(X)の閉包(closure)である、という.

定理:任意のA∈P(X)に対して、[A]=A∪Bである.ただしB={x∈X:∀V∈N(x)⇒∃z∈A∩V s.t. z≠x}とする.

証明: A⊂A∪Bでありまた,前回の結果からX~(A∪B)∈Jより[A]⊂A∪Bがいえる.次に

   ∀x[(∃V∈O s.t. x∈X~V)⇒x∈X~(A∪B)]

を言いたい.ところがこれは直ぐに言えてしまう:

   V∈Oより(X~V)⊂(X~A).

   X~V∈N(x)に対しA∩(X~V)が空よりx∈X~B.   おわり

 

 

   ご存じの通りユークリッド空間R^nに'普通の'位相

    u={V∈P(R^n):∀x∈V⇒∃p>0 s.t. xのp-開球U(x;p)⊂V}

を入れると、A∪B=Bとなるのであった.(前回のをみよ). 今回の結果から R^nに普通の位相を入れた位相空間では集積点全体の集合が結局,閉包となることが分かった. そこで特に次のことを考える. D∈P(R^n)が閉集合 iff X~D∈u, D⊂DよりD=[D]={x∈R^n:xはDの集積点}. つまり Dが閉集合 iff DがDの集積点全体の集合と等しい が成り立つ. 大学2年でやる解析学ではこの性質を利用するのではないか、と予想してる.

一部GとOが混乱してたので修正した(3/15)

 

参考図書:General Topology by John L kelley 1955

集合と位相空間 森田茂之 2002